2010년 9월 12일 일요일

#100912 정밀 HW1

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol6/intro_probability.html













Experiment 3:   A glass jar contains 6 red, 5 green, 8 blue and 3 yellow marbles. If a single marble is chosen at random from the jar, what is the probability of choosing a red marble? a green marble? a blue marble? a yellow marble?   [IMAGE]
Outcomes:   The possible outcomes of this experiment are red, green, blue and yellow.
Probabilities:  

















































P(red)  =  # of ways to choose red  =   6   =   3 
total # of marbles 22 11
 
P(green)  =  # of ways to choose green  =   5 
total # of marbles 22
 
P(blue)  =  # of ways to choose blue  =   8   =   4 
total # of marbles 22 11
 
P(yellow)  =  # of ways to choose yellow  =   3 
total # of marbles 22


The outcomes in this experiment are not equally likely to occur. You are more likely to choose a blue marble than any other color. You are least likely to choose a yellow marble.















Experiment 4:   Choose a number at random from 1 to 5. What is the probability of each outcome? What is the probability that the number chosen is even? What is the probability that the number chosen is odd?
Outcomes:   The possible outcomes of this experiment are 1, 2, 3, 4 and 5.
Probabilities:  












































































P(1)  =  # of ways to choose a 1  =  1
total # of numbers 5
 
P(2)  =  # of ways to choose a 2  =  1
total # of numbers 5
 
P(3)  =  # of ways to choose a 3  =  1
total # of numbers 5
 
P(4)  =  # of ways to choose a 4  =  1
total # of numbers 5
 
P(5)  =  # of ways to choose a 5  =  1
total # of numbers 5
 
P(even)  =  # of ways to choose an even number  =  2
total # of numbers 5
 
P(odd)  =  # of ways to choose an odd number  =  3
total # of numbers 5


The outcomes 1, 2, 3, 4 and 5 are equally likely to occur as a result of this experiment. However, the events even and odd are not equally likely to occur, since there are 3 odd numbers and only 2 even numbers from 1 to 5.









Summary:  The probability of an event is the measure of the chance that the event will occur as a result of an experiment. The probability of an event A is the number of ways event A can occur divided by the total number of possible outcomes. The probability of an event A, symbolized by P(A), is a number between 0 and 1, inclusive, that measures the likelihood of an event in the following way:

  • If P(A) > P(B) then event A is more likely to occur than event B.
  • If P(A) = P(B) then events A and B are equally likely to occur.



3. Do the following things about Heisenberg’s uncertainty principle:

(1) Who is Heisenberg?
독일의 이론물리학자. N.보어의 지도 아래 원자구조론을 검토하여 양자역학의 시초가 되는 연구를 하였으며, 불확정성원리에 대한 연구로 새로운 이론의 개념을 명확하게 하였다. 그 외 원자핵 분야에 대한 연구 등 여러 연구가 있다

(2) What is Heisenberg’s uncertainty principle?

불확정성원리(不確定性原理, uncertainty principle)는 양자 역학에서 맞바꿈 관측량(commuting observables)이 아닌 두 개의 관측가능량(observable)을 동시에 측정할 때, 둘 사이의 정확도에는 물리적 한계가 있다는 원리다. 불확정성 원리는 양자역학에 대한 추가적인 가정이 아니고 양자역학의 통계적 해석으로부터 얻어진 근본적인 결과이다. 하이젠베르크의 불확정성원리는 위치-운동량에 대한 불확정성원리이며, 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없다는 것을 뜻한다. 위치가 정확하게 측정될 수록 운동량의 퍼짐(또는 불확정도)은 커지게 되고 반대로 운동량이 정확하게 측정될 수록 위치의 불확정도는 커지게 된다.
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%88%ED%99%95%EC%A0%95%EC%84%B1%EC%9B%90%EB%A6%AC
반론 및 역설 존재
아인슈타인/보어/EPR 역설
"Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?"이라는 제목의 논문으로 발표된 EPR 역설은 1935년 아인슈타인, 포돌스키, 로젠에 의해 발표되었다(EPR이란 명칭은 세명의 앞글자를 딴 것이다). 물리계는 측정하기 전에 이미 물리적 성질들을 실제로 가지고 있다는 국소적 실재론 관점을 고수하던 아인슈타인은 포돌스키, 로젠과 함께 이를 입증하기 위한 정교한 가상실험을 설계했다. EPR측은 어떠한 물리적 영향력도 빛의 속도보다 빠르게 전달될 수 없다는 '국소성의 원리'를 근본 원리로 가정하고 있다. 양자역학의 전통적인 입장에 따르면 측정에 의한 파동함수의 붕괴는 거리에 관계없이 먼 곳에 순식간에 영향을 미치게 되는 것(action-at-a-distance)이므로, 양자역학은 국소성의 원리에 어긋나는 역설적인 상황을 발생시키게 된다. 따라서 양자역학은 불완전 체계이며, 물리계의 상태를 완벽하게 알아내기 위해선 파동함수 이상의 '숨은 변수'가 존재해야 한다고 주장했다.

(3) Discuss the background of this principle.
1926년 3월, 하이젠베르크는 행렬역학의 비교환적 성질이 불확정성을 내포하고 있다는 것을 깨닫고(당시 닐스 보어는 '불확정성'을 '상보성'이란 말로 표현했다), 미시적인 자연 세계를 바라보는 새로운 관점을 제시하고자 노력한 결과, 1927년 그것에 대한 수학적 논증인 '불확정성 원리'-행렬역학의 예측을 따르면 입자의 위치와 운동량이라는 두 변수를 동시에 정확하게 알아낼 수 없다는 것-를 정립할 수 있었다. 후에 하이젠베르크는 자신이 불확정성원리를 창안할 수 있었던 것은 알버트 아인슈타인의 영향을 받았기 때문이라고 회고했다. 위대한 물리학자 아인슈타인은 "관찰이란 현상과 그것에 관련된 자연법칙을 알고있을 때에만 의미가 있으며, 관찰할 수 있는 것이 무엇인지를 결정해주는 것이 이론이다."라고 말했는데, 하이젠베르크는 이러한 관점 하에 새로운 현상에 대한 연구를 수행한 결과 불확정성원리에 대한 기본적인 착상을 할 수 있었다고 한다. (아이러니하게도 그러한 계기를 제공한 아인슈타인은 양자역학의 불확정성, 비결정론적인 특성을 매우 못마땅하게 생각했다.) 불확정성원리에 대한 수학적인 논증을 완성시킨 하이젠베르크는 이후 간단한 사고실험들을 통하여 빛과 물질의 파동, 입자의 이중성이 불확정성으로 연결된다는 것을 입증하려고 했다.

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